勾股數的3條規律:1、凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數,稱之為勾股數。2、在一組勾股數中,當最小邊為奇數時,它的平方剛好等于另外兩個延續的正整數之和。3、在一組勾股數中,當最小邊為偶數時,它的平方剛好等于兩個延續整數之和的二倍。
規律一:在勾股數(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)(9,40,41)中,我們發現:
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由(3,4,5)有:32=9=4+5;
由(5,12,13)有:52=25=12+13;
由(7,24,25)有:72=49=24+25;
由(9,40,41)有:92=81=40+41。
即在一組勾股數中,當最小邊為奇數時,它的平方剛好等于另外兩個延續的正整數之和。因此,我們把它推廣到一般,從而可得出以下公式:
∵(2n+1)2=4n2+4n+1=(2n2+2n)+(2n2+2n+1)
∴(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1)2(n為正整數)
勾股數公式一:(2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1)(n為正整數)。
規律二:在勾股數(6,8,10)、(8,15,17)、(10,24,26)中,我們發現:
由(6,8,10)有:62=36=2×(8+10);
由(8,15,17)有:82=64=2×(15+17);
由(10,24,26)有:102=100=2×(24+26);
即在一組勾股數中,當最小邊為偶數時,它的平方剛好等于兩個延續整數之和的二倍,推廣到一般,從而可得出另一公式:
∵(2n)2=4n2=2[(n2-1)+(n2+1)]
∴(2n)2+(n2-1)2=(n2+1)2(n≥2且n為正整數)
勾股數公式二:(2n,n2-1,n2+1)(n≥2且n為正整數)。
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